Aplicaciones de la teoría ergódica en sistemas dinámicos discretos y combinatoria aditiva

Abstract

Este escrito monográfico tiene como objetivo presentar las aplicaciones teóricas de la teoría ergodica en sistemas dinámicos discretos y combinatoria aditiva, en específico, en la demostración del lema de Kac en sistemas dinámicos discretos y la prueba desde la perspectiva ergódica del teorema de Szemeredi en combinatoria aditiva, para ello, previamente se reúne toda una base teórica haciendo uso de una metodología con enfoque cualitativo de carácter descriptivo−documental mediante la cual se introducen las nociones y algunas propiedades importantes de espacio topológicos, espacios métricos, espacios normados, topologías débiles en espacios normados, algebras, medida, integración, recurrencia, transformaciones preservadoras de medida y ergodicidad con lo cual se establece la relación de la teoría ergódica con los sistemas dinámicos discretos y la combinatoria aditiva obteniendo como resultados la demostración del lema de Kac en la cual están involucrados el teorema de recurrencia de Poincare y el teorema ergódico de Birkhoff, y la prueba del teorema de Szemerédi mediante la construcción de un sistema dinámico medible e invariante al cual es posible aplicar el teorema de recurrencia múltiple de Furstenberg lo cual permite probar la veracidad del teorema. Palabras claves: Ergódica, Recurrencia, Sistema dinámico, Lema de Kac, Teorema de Szemerédi.